Introdução

O método de eliminação de Gauss-Jordan é uma técnica utilizada para resolver sistemas de equações lineares. Ele é uma extensão do método de eliminação de Gauss, no qual são realizadas operações elementares em uma matriz aumentada para transformá-la em uma forma escalonada reduzida.

A principal ideia do método de Gauss-Jordan é transformar a matriz aumentada do sistema em uma matriz escalonada reduzida, na qual todos os elementos abaixo e acima dos pivôs (elementos não nulos mais à esquerda de cada linha) são zeros. Isso nos permite obter a solução directa do sistema de equações, sem a necessidade de substituição.

O método de Gauss-Jordan envolve os seguintes passos:

1. Escrever a matriz aumentada: A matriz aumentada é formada pela combinação da matriz dos coeficientes das variáveis e o vector das constantes do sistema de equações.
2. Escolher o pivô inicial: O pivô inicial é o elemento não nulo mais à esquerda da matriz. Geralmente, escolhe-se o elemento com o maior valor absoluto para minimizar erros de arredondamento.
3. Realizar operações elementares: Através de operações elementares, como multiplicação de linhas por um factor e soma/subtracção de linhas, transformamos os elementos abaixo e acima do pivô em zero.
4. Escolher o próximo pivô: Após a eliminação dos elementos abaixo do pivô atual, escolhemos o próximo pivô entre os elementos não nulos mais à esquerda da matriz.
5. Repetir as operações elementares: Realizamos novamente as operações elementares para transformar os elementos abaixo e acima do novo pivô em zero.
6. Repetir os passos 4 e 5: Escolhemos o próximo pivô e realizamos as operações elementares até obter a forma escalonada reduzida.
7. Ler a solução: Após obter a forma escalonada reduzida, as variáveis desconhecidas podem ser facilmente lidas na matriz. O método de Gauss-Jordan é eficiente e permite obter a solução do sistema de equações de forma directa, evitando etapas adicionais de substituição. No entanto, é importante ter cuidado com erros de arredondamento durante as operações elementares, especialmente em matrizes de grande dimensão.

Método de Eliminação de Gauss Jordan

O método de eliminação de Gauss-Jordan é uma técnica amplamente utilizada para resolver sistemas de equações lineares. Ele envolve a transformação de uma matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida por meio de operações elementares. Vou explicar o método passo a passo e fornecer um exemplo para ilustrar.

Passo 1: Escreva a matriz aumentada

Considere um sistema de equações lineares na forma matricial Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes das variáveis, x é o vector de variáveis desconhecidas e b é o vector de constantes. A matriz aumentada é formada pela combinação de A e b. Por exemplo, para o sistema:

2x + y - z = 5

x - 3y + 2z = -4

3x + 2y - 6z = 0

A matriz aumentada seria:

[  2   1  -1  |  5 ]

[  1  -3   2  | -4 ]

[  3   2  -6  |  0 ]

Passo 2: Pivô inicial

Escolha o elemento não nulo mais à esquerda da matriz como o pivô inicial. Nesse caso, escolhemos o 2 na primeira linha, primeira coluna como pivô.

Passo 3: Operações elementares

Agora, realizamos operações elementares para transformar os elementos abaixo e acima do pivô em zero. Vamos fazer com que os elementos abaixo do pivô sejam zero:

- Multiplique a primeira linha por um factor necessário para tornar o elemento abaixo do pivô igual a zero. Nesse caso, multiplicamos a primeira linha por -1.

[  -2  -1   1  |  -5 ]

[   1  -3   2  |  -4 ]

[   3   2  -6  |   0 ]

- Some a primeira linha às outras linhas multiplicadas pelos factores necessários para tornar os elementos abaixo do pivô igual a zero. Nesse caso, somamos a primeira linha multiplicada por -1 à segunda linha, e somamos a primeira linha multiplicada por -3 à terceira linha.

[  -2  -1   1  |  -5 ]

[   0  -4   3  |  -9 ]

[   0   1  -3  |  15 ]

Passo 4: Novo pivô

Escolha o próximo pivô, que é o elemento não nulo mais à esquerda da segunda linha. Nesse caso, escolhemos -4 como o novo pivô.

Passo 5: Operações elementares

Realize operações elementares para transformar os elementos abaixo e acima do novo pivô em zero. Vamos fazer com que o elemento acima do novo pivô seja zero:

- Multiplique a segunda linha por um factor necessário para tornar o elemento acima do pivô igual a zero. Nesse caso, multiplicamos a segunda linha por -1/4.

[  -2  -1   1  |  -5 ]

[   0   1  -3  |  15 ]

[   0   1  -3  |  15 ]

- Some a segunda linha à primeira linha multiplicada pelo factor necessário para tornar o elemento acima do pivô igual.

 Exemplos resolvidos utilizando o método de Gauss-Jordan:

Exemplo 1:

Resolva o sistema de equações lineares utilizando o método de Gauss-Jordan:

2x + 3y = 11

4x - y = 5

Solução:

Passo 1: Matriz aumentada:

[ 2   3  |  11 ]

[ 4  -1  |   5 ]

Passo 2: Pivô inicial:

Escolhemos o 2 na primeira linha, primeira coluna como pivô.

Passo 3: Operações elementares:

- Multiplicamos a primeira linha por -2 e somamos à segunda linha.

[  2   3  |  11 ]

[  0  -7  | -17 ]

Passo 4: Novo pivô:

Escolhemos -7 como o novo pivô.

Passo 5: Operações elementares:

- Multiplicamos a segunda linha por -1/7.

[  2   3  |  11 ]

[  0   1  |   2 ]

- Multiplicamos a segunda linha por -3 e somamos à primeira linha.

[  2   0  |   5 ]

[  0   1  |   2 ]

Passo 6: Nova forma escalonada reduzida:

[  x   0  |   5/2 ]

[  0   y  |   2   ]

A solução é x = 5/2 e y = 2.

Exemplo 2:

Resolva o sistema de equações lineares utilizando o método de Gauss-Jordan:

x + 2y - z = 4

2x + y + z = 1

3x - y + 3z = 9

Solução:

Passo 1: Matriz aumentada:

[ 1   2  -1  |  4 ]

[ 2   1   1  |  1 ]

[ 3  -1   3  |  9 ]

Passo 2: Pivô inicial:

Escolhemos 1 como o pivô.

Passo 3: Operações elementares:

- Multiplicamos a primeira linha por -2 e somamos à segunda linha.

- Multiplicamos a primeira linha por -3 e somamos à terceira linha.

[ 1   2  -1  |  4 ]

[ 0  -3   3  | -7 ]

[ 0  -7   6  | -3 ]

Passo 4: Novo pivô:

Escolhemos -3 como o novo pivô.

Passo 5: Operações elementares:

- Multiplicamos a segunda linha por -1/3.

[ 1   2  -1  |  4 ]

[ 0   1  -1  |  7/3 ]

[ 0  -7   6  | -3 ]

- Multiplicamos a segunda linha por -2 e somamos à primeira linha.

[ 1   0   1  | 10/3 ]

[ 0   1  -1  |  7/3 ]

[ 0  -7   6  | -3 ]

Passo 6: Nova forma escalonada reduzida:

[  x   0   z  | 10/3 ]

[  0   y ]

Conclusão

O método de eliminação de Gauss-Jordan é uma técnica poderosa para resolver sistemas de equações lineares de forma eficiente e direta. Ao aplicar operações elementares em uma matriz aumentada, é possível obter uma forma escalonada reduzida, na qual a solução do sistema pode ser prontamente lida.

Uma das principais vantagens do método de Gauss-Jordan é que ele elimina a necessidade de retro substituição, que é comummente usada em outros métodos de resolução de sistemas lineares. Isso torna o processo mais simplificado e menos susceptível a erros de cálculo.

Outra vantagem do método é que ele permite identificar rapidamente sistemas de equações inconsistentes ou com infinitas soluções. Isso pode ser observado quando a forma escalonada reduzida resulta em uma linha de zeros com um termo não nulo na coluna das constantes.

No entanto, é importante lembrar que o método de Gauss-Jordan pode ser sensível a erros de arredondamento, principalmente em sistemas de equações com coeficientes muito grandes ou próximos de zero. Portanto, é fundamental utilizar técnicas de arredondamento apropriadas para evitar a amplificação desses erros.

Em resumo, o método de Gauss-Jordan é uma ferramenta valiosa para resolver sistemas de equações lineares de forma direta e eficiente. Ao realizar as operações elementares, ele nos permite obter a solução do sistema e identificar casos especiais, como sistemas inconsistentes ou com infinitas soluções. No entanto, é necessário ter cautela em relação aos erros de arredondamento para obter resultados precisos.

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