A lógica modal foi discutida pela primeira vez de forma sistemática por Aristóteles em “De Interpretatione”. Aristóteles percebeu não apenas que “necessidade” implica “possibilidade” (e não vice-versa), mas que as noções de necessidade e possibilidade eram indefiníveis. A proposição “p é possível” pode ser definida como: “não-p é necessário”. Da mesma forma, a proposição “p é necessária” pode ser definida como: “não-p não é possível”. Aristóteles também apontou que dos fatos separados de que “p” é possível e que “q” é possível, não se segue que a proposição conjuntiva “p e q” seja possível. Da mesma forma, não decorre do fato de que uma disjunção é necessária que as disjunções sejam necessárias, ou seja, não decorre de "necessariamente p ou q" que "necessariamente p ou necessariamente q". Por exemplo, é necessário que esteja chovendo ou não esteja chovendo. Mas não decorre disso que seja necessário que esteja chovendo, ou que seja necessário que não esteja chovendo. Este ponto simples da lógica modal foi verificado por técnicas recentes em lógica modal, nas quais a proposição “necessariamente p” foi analisada como: “p é verdadeiro em todos os mundos possíveis”. Usando esta análise, é fácil ver que do fato de que a proposição "p ou não-p" é verdadeira em todos os mundos possíveis, não se segue que p é verdadeiro em todos os mundos ou que "não-p" é verdade em todos os mundos. E, de forma mais geral, não decorre do fato de que a proposição “p ou q” é verdadeira em todos os mundos possíveis ou que “p” é verdadeiro em todos os mundos ou que q é verdadeiro em todos os mundos.

 

Aristóteles também parece ter notado que as seguintes proposições modais são ambas verdadeiras:

 

Se for necessário que se-p-então-q, então se p é possível, então é q

 

Se for necessário que se-p- então -q, então se p é necessário, então é q

 

Filósofos depois de Aristóteles acrescentaram outras observações interessantes a este catálogo de implicações. Contribuições foram feitas pelos megáricos, estoicos, Ockham e Pseudo-Scotus, entre outros. Os leitores interessados podem consultar as "notas do Lemmon" para uma discussão mais detalhada dessas contribuições.

 

Trabalhos na lógica modal após os escolásticos foram estagnados, com exceção da sugestão de Leibniz de que existem outros mundos possíveis além do mundo real. O interesse pela lógica modal foi retomado no século XX, quando C. I. Lewis começou a busca por um sistema de axioma para caracterizar "implicação estrita". Ele construiu vários sistemas diferentes que, segundo ele, caracterizavam diretamente a relação de consequência lógica. Hoje, é melhor pensar em seu trabalho como uma axiomatização da operação modal binária de implicação. Considere a seguinte relação:

 

Lewis definiu cinco sistemas na tentativa de axiomatizar a relação de implicação: S1 {S5. Dois desses sistemas, S4 e S5, ainda estão em uso hoje. Eles são freqüentemente discutidos como candidatos para a lógica certa de necessidade e possibilidade, e nós os estudaremos com mais detalhes a seguir. Além de Lewis, Ernst Mally e G. Henrik von Wright foram instrumentais no desenvolvimento de sistemas deónticos de lógica modal, envolvendo as proposições modais “deve ser o caso que p”. Este trabalho, entretanto, não era de caráter teórico-modelo.

 

O estudo teórico-modelo da relação de consequência lógica na lógica modal começou com R. Carnap. Em vez de considerar proposições modais, Carnap considerou sentenças modais e avaliou tais sentenças em descrições de estado. Descrições de estado são conjuntos de sentenças simples (atómicas), e uma sentença simples 'p' é verdadeira em relação a uma descrição de estado S se 'p'  S. Carnap foi então capaz de definir a verdade para todas as sentenças complexas de sua linguagem modal; por exemplo, ele definiu: (a) 'não-p' é verdadeiro em S se 'p'  S, (b) 'se p, então q' é verdadeiro em S se 'p'  S ou 'q'  S, e assim por diante para sentenças conjuntivas e disjuntivas. Então, com relação a uma coleção M de descrições de estado, Carnap essencialmente definiu:

 

<<A sentença ‘necessariamente p’ é verdadeira em S se e somente se para cada descrição de estado S’ em M, a sentença‘ p ’é verdadeira em S’>>.

 

Assim, por exemplo, se dado um conjunto de descrições de estado M, uma frase como 'Necessariamente Bill está feliz' é verdadeira em uma descrição de estado S se e somente se a frase 'Bill está feliz' for um membro de cada descrição de estado em M. Infelizmente, a definição de Carnap produz o resultado que as iterações do prefixo modal 'necessariamente' não têm efeito. (Exercício: Usando a definição de Carnap, mostre que a frase 'necessariamente p' é verdadeira em uma descrição de estado S se e somente se a frase 'necessariamente p' é verdadeira em S.).

 

O problema com a definição de Carnap é que ela falha em definir a verdade de uma sentença modal em uma descrição de estado S em termos de uma condição em S. Do jeito que está, a descrição de estado S no definiendum nunca aparece no definiens, e assim a definição de Carnap coloca uma condição 'vazia' em S em sua definição.

 

Na segunda metade deste século, Arthur Prior intuitivamente viu que as seguintes eram as condições de verdade corretas para a frase ‘já foi o caso que p’:

 

<< ‘já foi o caso em que p’ é verdadeiro em um momento t se e somente se p for verdadeiro em algum momento t’ anterior a t. >>.

 

Observe que o momento t no qual a frase temporal "era uma vez o caso em que p" é considerada verdadeira aparece nas condições de verdade. Portanto, as condições de verdade para a sentença modal no tempo t não são vazias em relação a t. Observe também que nas condições de verdade, uma relação de precedência temporal ("anterior a") é usada. A introdução desta relação deu a Prior flexibilidade para definir vários outros operadores tensos.

 

Na maior parte, os lógicos modais seguiram a estrutura desenvolvida no trabalho de Kripke. Kripke introduziu um domínio de mundos possíveis e considerou o prefixo modal "é necessário que" como um quantificador sobre os mundos. No entanto, Kripke não definiu a verdade para sentenças modais da seguinte forma:

 

<< ‘Necessariamente p’ é verdadeiro no mundo w se e somente se ‘p’ for verdadeiro em todos os mundos possíveis. >>.

 

Tal definição teria repetido o erro de Carnap, pois teria definido a verdade de uma sentença modal em um mundo w em termos de uma condição que é vazia em w. Tal definição reduz as condições de verdade de "necessariamente p" e "necessariamente p", entre outras coisas. Em vez disso, Kripke introduziu uma relação de acessibilidade nos mundos possíveis e essa relação de acessibilidade desempenhou um papel na definição de verdade para sentenças modais. A definição de Kripke foi:

 

<< ‘Necessariamente p’ é verdadeiro em um mundo w se e somente se ‘p’ for verdadeiro em cada mundo w’ acessível a partir de w. >>.

 

A ideia aqui é que nem todo mundo é modalmente acessível a partir de um determinado mundo w. Um mundo w pode acessar um mundo w’ (ou, inversamente, w’ é acessível a partir de w) apenas no caso de toda proposição verdadeira em w’ possivelmente ser verdadeira em w. Se há proposições que são verdadeiras em w’, mas que não são possivelmente verdadeiras em w, então deve ser porque w’ representa um estado de coisas que não é possível do ponto de vista de w. Assim, uma frase 'necessariamente p' é verdadeira no mundo w, desde que 'p' seja verdadeira em todos os mundos que são possíveis do ponto de vista de w.

 

 

 

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